1° Forum di Astronomia Amatoriale Italiano

Richiami sull'ellisse:

a, semiasse maggiore
b, semiasse minore
c, distanza di uno dei due fuochi dal centro dell'ellisse

dunque, eccentricità dell'ellisse e = c/a

Approccio esclusivamente cinematico:
Accelerazione centripeta nel moto circolare (formula molto nota)
Ac = V^2/R
dove V è la Velocità e R è il Raggio della circonferenza.
Base del ragionamento:
nel momento in cui il Sole raddoppia la massa, la forza di gravità sul corpo raddoppia e, istantaneamente, raddoppia l'accelerazione centripeta (Newton); è come se, istantaneamente, il corpo prendesse a percorrere un'altra circonferenza più stretta avente un raggio dimezzato perché la velocità non cambia; questa circonferenza più stretta è tecnicamente definita come il cerchio osculatore in quel punto della nuova traiettoria che sarà un'ellisse.
Grazie al cielo i matematici ci forniscono molta teoria sulla curvatura dell'ellisse e sul suo cerchio osculatore in ogni punto.

(Si noti che l'ellisse è descritta in funzione dell'angolo t che varia tra zero e 2*pigreco)
in particolare troviamo con facilità che nel punto interessato, quello di massima curvatura, il raggio del cerchio osculatore (inverso della curvatura) vale
b^2/a.

Il gioco è fatto, se aggiungiamo che il Sole occupa il fuoco più distante della nuova ellisse.

Ricordando che R è il raggio della circonferenza di partenza otteniamo le seguenti tre equazioni:
(1) b^2/a = R/2 (raggio del cerchio osculatore della nuova ellisse)
(2) c + a = R (posizione del fuoco della nuova ellisse)
(3) a^2 - c^2 = b^2 (proprietà nota dell'ellisse)
Queste tre equazioni formano un sistema a tre incognite, risolvibile facilmente anche da matematici non particolarmente abili (come me).
In particolare risulta:
a = 2R/3
c = R/3
da cui segue che l'eccentricità e = c/a = 1/2 .

I più sinceri complimenti ad Andrea , sbellicamenti esclusi.

Il tutto merita una grafica che seguirà.

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Costanzo
"Una cosa ho imparato nella mia lunga vita: che tutta la nostra scienza è primitiva e infantile
eppure è la cosa più preziosa che abbiamo" (A. Einstein).

Prima di leggere il tuo risultato, che sara' sicuramente ineccepibile, mi piacerebbe aggiungere la formuletta generale riscritta in LaTeX:

Dove k e' il rapporto fra massa finale e massa iniziale del corpo massiccio e r1 e' il raggio nel momento (istantaneo) in cui avviene la variazione di massa; e0, e1 e a sono rispettivamente eccentricita' iniziale, eccentricita' finale e il semiasse maggiore dell'orbita.

Si nota che per k = 0.5 (massa che si dimezza) e e0 = 0 (orbita iniziale circolare), e1 risulta pari a 1, sempre come da simulazione e anche in aderenza con l'andamento asintotico per M1->0.5 M0 ricavato da Zappalà in apertura di discussione.

Aggiungo un grafico di e1 con e0=0 al variare di k:




PS:Ho fatto alcuni piccoli ritocchini cosmetici e linguistici e uno un po' piu' importante (mi ero perso un ^2 per strada...).

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{andreaconsole.altervista.org}¦ Ballscope 300/1500 DIY "John Holmes"

Sono troppo avanti con gli anni per poter verificare chi avrà avuto ragione e hii

Spetta un attimo.
(Sono stato preso dalla soluzione legata alla giustificazione cinematica e non ho considerato altro).
Circonferenza iniziale, si dimezza la massa ----> parabola ?

@Virginio:
Ma non siamo quasi tutti d'accordo?

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Costanzo
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Yep!

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Scoppio ritardato.
(Ho letto di sfuggita)
Merita grafica A e B.
Questa è bella!!!! (Dopo tanto affanno, beh comunque ho rispolverato …)

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Costanzo
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eppure è la cosa più preziosa che abbiamo" (A. Einstein).

Ecco qua.
Dovremmo esserci.
Il Sole raddoppia improvvisamente la sua massa; che cosa fa un corpo minore che gli gira intorno inizialmente su una circonferenza?
Disegno in scala:


Si apre un panorama:
- e se invece di aumentare, la massa del Sole diminuisse improvvisamente?
- come la metteremmo con la traiettoria, soprattutto se la massa del Sole dimezzasse?
- vale ancora la soluzione cinematica?
- si può chiarire meglio che cosa succede?

Forse abbiamo più strumenti d'indagine …

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Costanzo
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eppure è la cosa più preziosa che abbiamo" (A. Einstein).

Certo che vale, almeno entro certi limiti.
Se diciamo che il raggio del cerchio osculatore vale R/k, con k=M1/M0,
la tua equazione risolta porta molto semplicemente a

a =Rk/(2k-1)

Come vedi, man mano che k si avvicina a 0.5 (cioe' la nuova massa tende verso la meta' dell'originale), a esplode come anche l'eccentricita' che puoi facilmente calcolare e che dovrebbe seguire il grafico che ho postato io.
Grande l'approccio dinamico/geometrico!

Edit: infatti

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Sì, caso un po' più generale, confermo con il manoscritto.
Mi accorgo ora che tu hai risolto a, il semiasse maggiore.
Ho usato una costante h che dovrebbe essere l'inverso della tua k (h=1/k).

Ora appaiono dei casi limite di estremo interesse.
Anche se questo è un forum , forse vale la pena capirci ...
Probabilmente sono possibili tutte le coniche.
Grazie a te!!! Veramente stuzzicante!!!

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Costanzo
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eppure è la cosa più preziosa che abbiamo" (A. Einstein).

Sì, ero anche io partito con il tuo stesso coefficiente (h crea un po' di confusione perché è la lettera usata per il momento angolare specifico), ma poi ho preferito tornare allo stesso k di prima perché il suo significato è più immediato essendo pari al rapporto fra massa finale e massa iniziale.

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