1° Forum di Astronomia Amatoriale Italiano

L’OROLOGIO DI TYCHO BRAHE
(Per chi volesse leggere questo articolo in pdf: https://www.dropbox.com/s/4ogjrleaaqcpt ... O.pdf?dl=0)
(Per qualche motivo il sito indicato mi sono ora accorto, è stato cancellato. L'ho rimesso con un nuovo indirizzo: https://www.dropbox.com/s/04rnmvyzdctdjcz/OROLOGIO%20TYCO%20%20BRAHE.pdf?dl=0
Mi scuso con tutti.)
In un orologio che per comodità facciamo girare in senso antiorario, indichiamo l’estremità delle lancette: con S quella corta (r) delle ORE e con P quella più lunga (R) dei MINUTI, possiamo notare che quando esse sono in linea la loro distanza è una volta minima (Perielio) e un’altra massima (Afelio); mentre tutte le altre distanze intermedie sono comprese tra questi due valori.
Il valore delle loro distanze è facile calcolarla conoscendo l’angolo tra le lancette R e r: sia esso (E).
Sia allora l’Applet:
https://www.geogebra.org/m/FXbsrwDn
che mostra il grafico e lo sviluppo di una equazione, come indicata nell’applet stesso in “Valore del Punto Ell”.

a) DESCRIZIONE. In un orologio se facciamo partire le lancette dalla posizione ORE 12 in cui la distanza tra S e P è minima, ad ogni giro della lancetta lunga R pari a 360°=1h la corta r deve avanzare di 30°=1h con un rapporto V =360°/30°=12, come in figura.
Quando il punto P ha percorso 360°(1h) il punto S ne ha percorsi 30°(1h), ma il punto P non è ancora alla distanza minima da S, perché S si è anche lui spostato. Pertanto per poter arrivare nuovamente alla distanza minima da S dovrà ancora percorrere 30° + C° gradi perché mentre P si muove per percorrere i 30° contemporaneamente il punto S continuerà a muoversi come in Achille e la tartaruga.
b) La situazione a questo punto è:
• S e P sono in linea (distanza minima);
• P avrà infine percorsi 360°+30°+C°=360°+30°+3°=393° (vedi applet).

c) Notiamo che l’angolo compreso tra le lancette R e r è dato dalla differenza degli angoli α-δ= E: allora la formula che fornisce tutti i valori delle distanze comprese tra un minimo (Pe=Perielio) ed un massimo (Af=Afelio) è: SP=√(R^2+r^2-2Rr cos^2E)

d) Raccolti in una “Tavola” tutti i dati delle distanze SP, si presenteranno proprio come la «Tavola» compilata da Tycho Brahe, con le distanze tra Sole e Marte, lasciata in eredità a Keplero.
Da i valori delle misurazioni della Tavola di Tycho Brahe, Keplero dedusse e formulò la sua ipotesi supponendo che il punto P=(Marte) si muove secondo una curva ellittica ed il punto S=(Sole) doveva essere fisso nel punto fuoco.
Non aveva altra scelta!
Pertanto avrebbe considerato anche la nostra “Tavola” alla stessa stregua di quelle di Tycho e applicato ad essa le sue leggi.

e) Diversamente da Keplero, nel nostro caso, non abbiamo bisogno di ipotizzare una Ellisse: l’abbiamo!
Nell’esempio dell’orologio la stessa equazione ci fornisce e le distanze, e la relativa ellisse, senza la necessità di interpretazioni o ipotesi, come è costretto a fare Keplero.
Infatti SP fornisce non soltanto i valori delle distanze, ma esso stesso rappresenta una ellisse, come sappiamo dal “Teorema dei Pianeti”, di cui l’enunciato:
«Data una circonferenza, ed un qualunque punto-fisso nello spazio, che non appartenga alla perpendicolare al centro di tale circonferenza, la sua distanza dai punti della circonferenza sono vettori di ellisse, la traiettoria una ellisse e il punto fisso il suo centro.».
Che in formule vuol dire:
SP=√(R^2+r^2-2RrcosE)=√((R-r)^2 cos^2⁡(E/2)+(R+r)^2 sin^2⁡(E/2) )
dove l'ultima espressione è l'equazione di una ellisse, con (R+r) distanza massima e semi asse maggiore e con (R-r) distanza minima e semi asse minore, scritte come Af e Pe:
SP=√(P_e^2 cos^2(E/2)+A_f^2 sin^2(E⁄2) )=√(1/2[P_e^2 (1+cos⁡E )+A_f^2 (1-cos⁡E)] )
y/x=tan⁡(β)=A_f/P_e tan⁡(E/2) dove beta è l'angolo al centro dell'ellisse.
Nell’analisi di tale teorema il punto-fisso S e la circonferenza sono considerati complanari (per la dimostrazione di questo teorema nello SPAZIO vedi (Geometriaparametrica.it Equazione di Vag nello Spazio Indice Cap III Pag14).
La nostra complanarità è una esemplificazione discorsiva.

f) Il Teorema citato con le sua prerogative dimostra:
1. Corrispondenza biunivoca tra circonferenza ed ellisse.
2. Velocità Areale (doppia sulla circonferenza che sull’ellisse)
3. Nell’ellisse Aree uguali in tempi uguali.
4. Perimetri uguali tra circonferenza e relativo ellisse:
2Rπ=(Af+Pe)π ma, attenzione, gli archi non sono uguali nei valori intermedi. Infatti gli archi di settore minore dei quarti di ellisse non sono uguali tra loro.
Grande importanza riveste il punto 1. perché risolve l’esempio empirico:
«Se prendo un anello (di metallo ad esempio) e lo stringo su due poli, l’anello si allarga assumendo la forma di una ellisse e più stringo più si allarga. Notiamo che l’area originale della circonferenza tende a zero se continuiamo a stringere, mentre il suo perimetro rimane sempre uguale a quello dell’anello iniziale».

Questa identità perimetrica e i valori degli archi sono in «www.geometriaparametrica.it Cap.VII “Area e Perimetro Ellisse”»

g) Con i valori delle distanze SP, che Keplero indicò come raggi di ellisse e da noi ottenuti con le formule sopra, nell’applet è tracciata una ellisse di raggio CEll=SP, ellisse di riferimento data dall’angolo formato dalle lancette dell’orologio e che non cambia qualunque posizione le lancette abbiano nello spazio; supposto gli estremi P e S punti massa, essi interagiscono tra di loro secondo una distanza ellittica su un piano di riferimento che rappresenta quello in cui i veri punti massa si muovono.
Nell’applet, per comodità visiva abbiamo posto l’ellisse nello stesso piano del moto delle lancette, con centro in C, dove S≡C. Ed è giusto che l’ellisse non sia posizionale, perchè Newton, considera le interazioni delle masse tra loro e non la loro posizione rispetto ad un qualunque riferimento. Conoscere le distanze di due Masse e studiarle, non ci dice qual è la loro posizione nello spazio. Tuttavia anche Newton conclude con una conica (ellisse) che noi formuliamo, non secondo una ipotesi ma traendola direttamente dal valore SP come indicato in e).

h) LA TRAIETTORIA CIRCOLARE. Il “Teorema dei Pianeti” definito in e), nel suo enunciato, non indica la traiettoria circolare; questo perché nel caso è implicita: un uomo fermo all’equatore gira secondo una circonferenza e quindi rispetto ad un qualunque punto fermo dello spazio secondo una traiettoria ellittica, ma rispetto al Polo o ad un qualunque punto della perpendicolare al centro dell’equatore, gira secondo una circonferenza.

POSSIAMO ALLORA CONCLUDERE:
“I Pianeti ruotano secondo proprie Orbite Circolari e tutti, uno rispetto all’altro, secondo traiettorie Ellittiche”
Quindi la Luna (un Pianeta) che giri secondo una circonferenza avrà una traiettoria ellittica rispetto alla Terra, ma anche rispetto al Sole e così tutti i Pianeti!

#################################################################

Poiché i principi di Newton non essendo stati toccati, perché rifacentesi ad una ellisse da noi indicata, data non da una ipotesi ma ricavata da una espressione matematica, dovranno rimanere inalterati.

1) LA TERZA LEGGE. La terza legge di Keplero si sviluppa:
(2πR )/T=V=√(GM/R) ⟹ R^3/T^2 =GM/(2π)^2 =costante; con R=(A_f+P_e)/(2 )
per Keplero R è il raggio del cerchio circoscritto all’ellisse; nel nostro caso per il “Teorema dei Pianeti” è raggio della circonferenza di uguale perimetro dell’ellisse:
R=(A_f (Asse Maggiore)+P_e (Asse Minore))/(2 ) con velocità V=√(2GM/((A_f+P_e ) ))

2) VELOCITA’ ORBITALE. Anche la velocità Orbitale di un pianeta, intesa come moto di un pianeta rispetto ad un altro sarà:
V=√( GM (2/r- 1/a) ) r=distanza delle masse; a=R=(A_f+P_e)/(2 )
e poiché per noi r=CEll=SP abbiamo:
V=√(GM(2/SP-2/(A_f+P_e )) )

Grazie mille!

Non mi è chiaro il fine. Stai dicendo che la terra e il sole (per esempio) ruotano cin orbite circolari concentriche ristretto ad un punto e, perciò, la traiettoria della terra rispetto al sole è ellittica?

_________________
qa'plà!
Radical chic certified

Alla luce di quanto mi è noto in tema di Meccanica Celeste, io rileverei alcuni problemi nella trattazione proposta:

1) è vero che un'orbita circolare appare ellittica ad un osservatore che osservi da una direzione non coincidente con la normale al piano dell'orbita, ma i pianeti di uno stesso sistema planetario si trovano, in prima approssimazione, tutti sullo stesso piano, per il che un'orbita, che sia circolare o ellittica, appare (in prima approssimazione) come se fosse una linea;

2) lo studio analitico del moto di due corpi (in un approccio puranente newtoniano) evidenzia che, in generale, il moto è una conica e non è necessariamente circolare (pur potendo essere circolare in casi particolari). In particolare, se è ellittico (rispettivamente circolare, parabolico, iperbolico) il moto di ciascuno dei due corpi rispetto al centro di massa, è altresì ellittico con la stessa eccentricità (rispettivamente circolare, parabolico, iperbolico) il moto di ciascuno dei due corpi rispetto all'altro. Detto in altri termini, il moto relativo di ciascuno dei due pianeti rispetto all'altro è circolare se e solo se è circolare il moto rispetto al centro di massa. Anche se l'eccentricità è solitamente bassa (ad esempio, il moto della Terra è quasi circolare), i casi di oggetti dall'orbita esattamente circolare sono assai rari.

Posso formulare un'ipotesi, direi una certezza..

1) NOTA
(tuvoc:=) Esatto. Ma attenzione questo non lo dico io, sarebbe troppo facile. Matematicamente ce lo dice il “Teorema dei Pianeti” che applico al moto dell’orologio punto e). Inoltre al punto h) faccio un esempio appropriato ma non astronomico: è l’applicazione dello stesso Teorema.


-nel nostro articolo la differenza è definita con esattezza vedi punto h)

-circolare rispetto al centro di massa come nell’orologio. Il caso di Parabolico lo vedremo in seguito poiché si dovrà totalmente integrare con quanto diciamo.

-ellittico senza alcuna eccentricità

-citi Keplero; indicare che il moto della Terra è quasi circolare è improponibile o è ellittica punto, oppure circolare.
L’articolo dimostra che se il moto rispetto al centro di massa è circolare il moto relativo di ciascuno dei due Pianeti rispetto all’altro è ellittico (“Teorema dei Pianeti”), ed è tale ovunque sia la posizione di S (Sole), caso Luna-Sole, senza l’assurdità del punto S(Sole) fisso nel fuoco, per cui non ha bisogno di mostrare eccentricità. Il moto relativo di ciascuno dei due Pianeti rispetto all’altro da ellittico diventa circolare quando il punto S è punto della perpendicolare al centro della circonferenza vedi punto h).
Tutto il «discorso» sta a giustificare il calcolo analitico della traiettoria ellittica di un pianeta rispetto ad un altro, con una legge non limitata a pianeti e suoi satelliti, ma relativa a tutti i corpi celesti.
A tutti vorrei proporre di lasciare da parte per un momento le leggi di Keplero, ma di valutare la validità del ragionamento proposto sulla base delle informazioni matematiche (Geometriche) date, che propongo sotto forma di orologio e di tener presente il “Teorema dei Pianeti” vedi punti e) f), riferimento di tutto.

Chi e' l'autore del noto "Teorema dei pianeti"?

_________________
{andreaconsole.altervista.org}¦ Ballscope 300/1500 DIY "John Holmes"

comunque, a parte l'autore e il teorema, è facile scrivere una equazione in cui, data la velocità angolare delle due lancette, si calcola la distanza dei due punti nel tempo

_________________
qa'plà!
Radical chic certified

Non lo sai? È noto: Lennyus Elenoir MaxVaglieco.

Un riferimento interessante:
http://www.trekportal.it/coelestis/show ... hp?t=58872

_________________
{andreaconsole.altervista.org}¦ Ballscope 300/1500 DIY "John Holmes"