Ci provo io, anche se l'argomento è molto complesso e richiederebbe pagine e pagine per essere spiegato.
Secondo me no, non esiste una formula per determinare la magnitudine limite raggiungibile. Cerchiamo di capire meglio il problema.
La magnitudine limite, come la conosciamo per il nostro occhio, non ha senso applicata ai sensori ad integrazione, soprattutto se digitali e quindi esenti dal difetto di reciprocità. Il termine magnitudine limite al quale siamo abituati è definito come la magnitudine che il nostro occhio (il cui tempo di integrazione è approssimabile a 1/25") riesce a catturare attraverso uno strumento ottico, tenendo presenti variabili come trasparenza lenti, trasparenza atmosfera, qualità lenti, qualità cielo e qualità seeing. Nel caso di sensori con capacità di integrazione, il termine magnitudine limite adottato per l'occhio non può essere più utilizzato perché essa dipende da quanto si espone.
Definiamo magnitudine limite di un sensore ad integrazione quel valore limite che si raggiunge (asintoticamente) aumentando il tempo di esposizione, con variabili fissate, come: seeing, trasparenza cielo, qualità ottica, qualità del cielo.
In prima approssimazione, il valore della magnitudine limite non dipende più criticamente dal diametro dell'obiettivo perché un deficit di luce può essere tranquillamente bilanciato da una maggiore esposizione, con un risultato identico in termini di resa. I fattori che limitano la magnitudine raggiungibile sono il rumore del sensore CCD e la qualità del cielo, misurabile con la sua luminosità superficiale. Supponiamo che la risoluzione del mio sistema di ripresa mi consenta di avere un diametro stellare di 30 secondi d'arco e che la qualità del cielo sia tale che una superficie di 30 secondi d'arco quadrati abbia una magnitudine integrata di 15; questo significa che non potrò mai riprendere stelle con magnitudine superiore alla 15 (cioè più deboli), perché il fondo cielo mi crea una specie di velo insormontabile a prescindere dal tempo di esposizione e dal diametro dell'obiettivo utilizzato. L'unica possibilità è scurire il fondo cielo utilizzando filtri selettivi, spostandosi un un luogo più buio o aumentando l'ingrandimento, ma non oltre un certo limite imposto dalle condizioni di diffrazione e seeing locale, oltre il quale il diametro dell'immagine stellare non appare più puntiforme.
Dopo questo discorsetto che cerca di spiegare il significato di magnitudine limite, cerchiamo di tirare le somme: esiste una formula, una relazione che ci dica il valore della magnitudine limite raggiungibile?
La risposta, come anticipato all'inizio, è negativa, ma possiamo provare a tirare fuori qualche relazione empirica e approssimata.
Intanto chiariamo ancora di più il termine magnitudine limite, tenendo conto che ogni sensore CCD ha rumore: definiamo magnitudine limite misurata, quella magnitudine stellare alla quale corrisponde un valore ADU misurato il cui rapporto con il rumore medio dell'immagine è tale da rendere la stella riconoscibile e ben staccata dal rumore di fondo. Senza utilizzare le restrizioni delle immagini scientifiche in cui il rapporto S/N per la magnitudine limite è almeno 3, possiamo affermare che per i nostri scopi, un valore di 2 può essere sufficiente.
Quanto vale quindi la magnitudine limite ripresa da un CCD? Io ho visto immagini eseguite con CCD da cieli scuri e strumenti da 10 cm di diametro che sforano la magnitudine 20, ed in generale, con strumenti classici come un 200 mm f6.3 si supera facilmente la magnitudine 21 da un cielo buono.
Con un obiettivo da 135 mm aperto a f3.5 io ho personalmente raggiunto la magnitudine 15 sotto un cielo con magnitudine limite visuale intorno alla 4.5, ma questo è comunque un valore indicativo.
Una relazione, sia pur con delle limitazioni, è data al seguente link:
http://www.astrosurf.com/comolli/maglim.htm . Non ho provato ad inserire qualche dato ma le variabili di cui si tiene conto sono abbastanza corrette, anche se comunque il valore può differire anche di una magnitudine o più, soprattutto per cieli davvero scuri.
Questa è la mia idea. Sarebbe bello effettuare uno studio più quantitativo..quando avrò tempo ci proverò.
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