1° Forum di Astronomia Amatoriale Italiano

E' da qualche anno (da ottobre 2011) che sono iscritto al forum e non ho mai aperto finora un nuovo argomento. Provvedo ora ad aprirne uno!
Questo argomento vorrebbe portare ad una discussione su un elemento di base della Meccanica Quantistica (e di Analisi Funzionale) che non dovrebbe mancare di interessare almeno una parte dei forumisti, spero non solo quelli che, tra loro, sono colleghi fisici o matematici.
Avendo l'argomento chiare implicazioni dal punto di vista astrofisco-cosmologico (a mio avviso, riguarda incidentalmente la struttura dello spazio-tempo), ritengo sia adatto alla Sezione.
Infine, l'argomento vorrebbe anche essere un sondaggio d'opinione.

Una questione che mi ha sempre incuriosito è il fatto che la completezza dello spazio di Hilbert in cui agisce l’operatore impulso (in descrizione di Schroedinger) di una particella quantistica è basato criticamente sull'accettazione dell'assioma di Zermelo (il lemma di Zorn, da cui discende il fatto che, in generale, uno spazio vettoriale ammette una base, viene infatti dall'assioma di Zermelo, altrimenti detto assioma della scelta. Se non si acceettasse tale assioma, si potrebbe provare l'esistenza di una base solo per spazi vettoriali di dimensione finita e quindi la completezza di uno spazio di Hilbert in generale cadrebbe).

Dallo stesso assioma discende tuttavia anche il paradosso di Banach-Tarski, di cui alcune conseguenza dirette sono queste (tratte da un articolo dell'analista funzionale tedesco Volker Runde):

"Un’arancia può essere suddivisa in un numero finito di pezzi, ed essi possono essere saldati insieme a dare due arance, ciascuna delle due con la stessa grandezza di quella che è stata smembrata."

"Un pisello può essere suddiviso in un numero finito di pezzi, e questi possono essere riassemblati a dare una sfera solida il cui diametro è più grande della distanza tra la Terra e il Sole."

O, ancora:

"Cinque pani e due pesci possono essere suddivisi in un numero finito di pezzi, ed essi possono essere saldati insieme a dare il contenuto di alcuni sacchi di pane e di pesci, sufficienti per sfamare 5000 uomini".

Si badi bene, tutte queste affermazioni discendono direttamente da un teorema basato sull'assioma di Zermelo, lo stesso che permette di parlare di completezza di uno spazio di Hilbert e che ha assicurato, e assicura tuttora, grande successo alla Meccanica Quantistica (sia non-relativistica, sia relativistica. Vorrei far notare che la teoria degli integrali di Feynman è criticamente basata sulla completezza!)

Come conciliare tutto ciò?
A mio parere il paradosso non ha ragion d'essere per via della quantizzazione dello spazio-tempo (teorizzata ma non provata), che dovrebbe risolvere la questione della continuità dello spazio che, invece, richiederebbe il ricorso all'assioma di Zermelo (detto in altri termini, io ritengo che gli spazi di Hilbert di effettivo interesse fisico abbiano dimensione finita, anche se grandissima, o al più numerabile. Non è necessario invocare Zermelo anche nel caso di base numerabile).

Voi cosa ne pensate?

Zermelo santo subito .

Ho capito questo: https://www.youtube.com/watch?v=JU-QZ7yoyd4

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{andreaconsole.altervista.org}¦ Ballscope 300/1500 DIY "John Holmes"

Quanto mi piacerebbe possedere le basi teoriche per comprendere tali questioni!!!

Purtroppo le nozioni universitarie di fisica (al corso di ingegneria) sono, oltre che insufficienti, anche oramai abbastanza sbiadite e riprendere in mano testi universitari é per me troppo faticoso....

C'è una questione molto sottile, che arriva da considerazioni sui sistemi cognitivi, ed è questa: "perché la matematica rappresenta il mondo fisico"?
La matematica di per sé è un sistema simbolico: 2+3 = 5 può essere vista come una manipolazione di simboli, ma le regole con cui i simboli vengono manipolati correttamente ( o non correttamente) dipendono da che cosa i simboli "significano". 2+3 fa 5 se 2 significa due sassolini, 3 significa 3 sassolini e "sommare" significa l'operazione di metterli insieme.
In questo senso si dice che il sistema simbolico è "ancorato" (in inglese "grounded") su un dato esterno, che però purtroppo è un dato sensoriale (il "vedere" i sassolini).

Ora, I fisici e i matematici fanno spesso operazioni di questo tipo: "ho due forze" -1-> "le forze sono vettori" -2-> i vettori si sommano con queste regole -3-> la somma delle due forze è dunque questa. Il passaggio 1 è un passaggio da una entità fisica (la forza) a un ente simbolico (il vettore) il passaggio 2 è una operazione puramente simbolica, il passaggio 3 è il trasferimento del risultato simbolico al mondo fisico di partenza.

In Fisica, ovviamente, è importante verificare sperimentalmente che "le forze si sommano davvero come vettori". L'operazione di somma vettoriale è un modello che interpreta la realtà.

Ora, l'esempio che fai è un passaggio molto più spericolato: si prendono "equazioni" (cioè un sistema simbolico), si manipola questo sistema e si giunge a conclusioni che vengono generalmente considerate corrette perché la matematica lo è, ma spesso si dimentica il problema del "grounding" ovvero così come la somma vettoriale rappresenta la composizione delle forze, siamo sicuri che le operano simboliche "rappresentano" davvero quello che succede nella realtà?

In altre parole "la matematica rappresenta la fisica"? O giriamola in altro modo: "perché la matematica rappresenta la fisica"? Una risposta potrebbe essere che in verità le due cose sono intimamente connesse come due facce della stessa medaglia "nella realtà" (che cosa questo significhi non è mica chiaro però). Ma c'è anche una risposta molto più inquietante: il nostro cervello sta interpretando la realtà con un sistema simbolico (la matematica) che lui stesso ha costruito e in questo non si ricorda quasi mai del problema del grounding.

In altre parole non ci dobbiamo sorprendere che la fisica viene descritta bene in termini matematici perché siamo noi, come sistemi cognitivi, che interpretiamo i fenomeni (fenomeni nel senso letterale di ciò che ci appare) in questo modo.
Ma potrebbe essere solo che il nostro cervello può solo pensare così, che ci sono cose che non possiamo pensare o concepire e che l'essenza ultima della Fisica ci stia sfuggendo.

Quindi, nel cercare di spiegare fenomeni quantistici passiamo al mondo della matematica, manipoliamo il concetto di spazio di infinite dimensioni, ci accorgiamo che occorre assumere che in essi sia possibile trovare una base, che per infinite dimensioni questo non è garantito, e quindi diciamo "eh beh ma lo sarà: basta accettare l'assioma di Zemerlo". In questo passaggio applichiamo la manipolazione simbolica al mondo fisico "assumendo" che ciò sia corretto (se ce ne rendiamo conto, ma a volte nemmeno ce ne rendiamo conto perché 2+3=5 e non ci ricordiamo che 2 sassolini insieme a tre sassolini fa 5 sassolini).

In altre parole, fisici e matematici cercando i capire il mondo, ma per farlo usano il loro cervello che è parte del mondo e non sanno che limiti ha.

https://en.wikipedia.org/wiki/The_Unrea ... l_Sciences

Non ho le competenze per poter dare un contributo con basi scientifiche alla discussione aperta da GTBL , ma quanto scritto da Xenomorfo, se ho ben capito cosa voglia intendere, mi ha fatto molto riflettere perchè rispecchia il mio pensiero sulla direzione che gli studi di fisica hanno preso sopratutto da Einstein in poi.
Le teorie degli ultimi tempi che dovrebbero spiegare sempre più nell'intimo il funzionamento dell'universo, come ad esempio le teorie sulle dimensioni, sulle corde, supercorde, multiversi ecc, ecc. sono diventate sempre più complesse e ogni soluzione matematica che ne consegue apre la strada ad altre implicazioni e ad altre teorie sempre più "improbabili" e complesse.
La Matematica, come diceva Xeno, non è la realtà ma è un rappresentazione della realtà, costruita dall'uomo e dalle sue caratteristiche intrinseche (probabilmente se noi non avessimo 10 dita la nostra matematica non si sarebbe sviluppata in base 10). Le equazioni che spiegano l'universo, o meglio ne danno un modello il più aderente possibile, giungerebbero alle stesse conclusioni nella Matematica di un ipotetica civiltà Aliena, con caratteristiche totalmente diverse dalle nostre, magari con solo 3 o 15 dita?
La fisica alle scuole medie viene spiegata con formule semplici ma esaustive della complessità del modello richiesto in quel grado di apprendimento.
Ma la complessità della fisica e con essa le formule matematiche si complicano sempre più man mano che si sale dalle superiori, all'università, e via dicendo fino ad arrivare a formule sempre più lunghe, difficili, dense di costanti e numeri fissi.
Certamente cambia la complessità dell'argomento, ma sembra quasi che la Matematica faticasse sempre più a descrivere la realtà delle cose in maniera semplice e lineare, come se non fosse più sufficiente e questo aumentasse a dismisura la complessità della matematica necessaria a descrivere i fenomeni che si studia.
Certo, moltissime delle cose che vengono scoperte oggi, sono conferme sperimentali di fenomeni attesi in quanto soluzioni matematiche delle equazioni che tentano di spiegare la fisica.
Spesso però si giunge a delle conclusioni o a delle soluzioni corrette dal punto di vista matematico ma che poi, a parere mio, hanno poco o alcun senso nella realtà delle cose. Come i vari paradossi di cui sopra.
Lo vedo come se avendo inventato l'alfabeto e riuscendo a creare parole, frasi e libri in grado di descrivere il mondo che ci circonda, allora tutte le possibili frasi che uno scrittore possa generare debbano per forza trovare riscontro nella realtà.

grazie per la discussione - aspetto contributi pi significativi del mio.è improbabile che abbia da dire qualcosa di significativo.
intanto rileggo

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dovrete espellere anche me

A me pare impossibile una questione del genere ovvero
1/n=a a×n=1 non si scappa

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e ho visto i raggi b balenare nel buio

Bisogna intendere cosa vuol dire smontare un pisello in un numero finito di pezzi. Se si vuole rimontarlo conservando la natura di "pisello" allora non si possono "smontare" le molecole, altrimenti quello che si rimonta avrà una composizione chimica diversa e non sarà più un pisello, ma un insieme di atomi diversi. Quindi basta calcolarsi quante molecole ci sono in un pisello (ma è fatto do molte sostanze diverse) e poi vedere quanto viene lungo il "filo" se le si mettono tutte in fila una dopo l'altra. Lo potrei calcolare, ma la cosa mi annoia abbastanza perchè mi sembra un argomento un poco futile. Non dimentichiamo che 18 grammi di acqua contengono una mole di molecole di acqua, che sono circa lo stesso numero delle stelle presenti in tutto l'universo. Questo sta a significare che le molecole sono molto piccole e che sono tante. Alla fine tutte le particelle dell'universo (che conosciamo) sono circa 10 elevato all'80. Detto così sembra che siano poche... La struttura dell'Universo è discreta, applicare funzioni può essere utile, ma anche portarci a fare ragionamenti assurdi.

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“Ciò che non ha termine non ha figura alcuna” Leonardo da Vinci

diciamo che, se ho capito il primo post, il paradosso (dato per scontata l'impossibilità di suddividere qualcosa e ricomporla in modo da ottenere qualcosa della stessa "natura" e dimensioni superiori - assunzione che non sto ad indagare ulteriormente e che potrebbe essere meno autoevidente di quanto sembri ) potrebbe essere inteso come una prova indiretta della struttura discreta dello spazio-tempo?

poi giuro che taccio.

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dovrete espellere anche me