1° Forum di Astronomia Amatoriale Italiano

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Costanzo
"Una cosa ho imparato nella mia lunga vita: che tutta la nostra scienza è primitiva e infantile
eppure è la cosa più preziosa che abbiamo" (A. Einstein).

Soluzione (due paginette):

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Costanzo
"Una cosa ho imparato nella mia lunga vita: che tutta la nostra scienza è primitiva e infantile
eppure è la cosa più preziosa che abbiamo" (A. Einstein).

Non lasciamoci ingannare dall'apparente semplicità della soluzione.

Dunque, disegno iniziale.
Newton propone la costruzione di un parallelogramma (QxPR).
Fino qui non ci sono particolari difficoltà.

La figura della edizione in latino è più affidabile.
Purtroppo la traduzione in italiano reca una figura ridisegnata con un evidente refuso (corretto nel disegno da me riportato nel post sopra) che è sicuramente una svista, ma che mette qualche dubbio sulla revisione della traduzione e sulla sua comprensione.
Il disegno della edizione latina, originale, senza modifiche, senza errori, è questo:

Ho ricostruito il disegno con autocad per maggiore chiarezza: viene sottinteso che DK e PG sono due diametri coniugati e quindi che la tangente in P (PZ) è parallela a DK. Il punto v (v minuscolo) si trova su PC e Qv è parallelo a DC. Newton dà come scontate queste costruzioni perché ne ha già fatte di simili precedentemente nei Principia.

Segue una prima dimostrazione già analizzata (e verificata): AC = EP
link:
http://forum.astrofili.org/viewtopic.php?f=4&t=104953&p=1184145&hilit=disinvoltura#p1183014

Prima di passare oltre notiamo che la pagina della legge del quadrato richiama altre pagine (è una sorta di ipertesto) e non poteva essere diversamente; ci sono quattro riferimenti esterni che qui vengono sottolineati in rosso:

(…)

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Costanzo
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eppure è la cosa più preziosa che abbiamo" (A. Einstein).

Proseguiamo.
Costruzione geometrica (no problem):

Segue qualcosa che abbiamo già visto,
http://forum.astrofili.org/viewtopic.php?f=4&t=104953&p=1184145&hilit=disinvoltura#p1183207
il parametro principale L dell'ellisse ci è noto, ed è nota anche l'uguaglianza che Newton ci propone:

Ora ci sono dei passaggi matematici:

Li ripeto in forma più moderna con l'equation editor di Word:

Ricordo, peraltro, la proprietà dell'ellisse già vista:
http://forum.astrofili.org/viewtopic.php?f=4&t=104953&p=1184145&hilit=disinvoltura#p1183342


Ora Newton richiama un altro punto:

Ma anche questo è già stato discusso:
http://forum.astrofili.org/viewtopic.php?f=4&t=104953&p=1184145&hilit=disinvoltura#p1183364

In pratica, questo ultimo richiamo al Lemma VII serve a Newton per affermare che se il punto Q tende a P (ragionamento moderno "al limite", vedere il solito disegno sopra) il segmento Qx tende al segmento Qv e cioè Qv e Qx tendono ad essere uguali. Non è una questione banale, perché nel frattempo Qx e Qv tendono a zero, come la loro differenza. Viene considerato, quindi, che la differenza Qv-Qx sia un infinitesimo di ordine superiore, come si direbbe al giorno d'oggi. E' argomento delicato … perché gli infinitesimi di ordine superiore potrebbero essere un tallone di Achille nel calcolo differenziale, ma ora limitiamoci ad accettare …
( … )

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eppure è la cosa più preziosa che abbiamo" (A. Einstein).

(…)
Ultimo sforzo nella seconda paginetta.

Newton richiama il Lemma XII, eccolo qua:

Non è difficile verificare che probabilmente questa era una proprietà molto popolare ai tempi di Newton (un po' caduta nell'oblio ai giorni nostri).
Sta di fatto che, con riferimento alla solita figura, concordiamo così:

(C'è ancora da segnalare una facile similitudine dei triangoli QTx e PEF)
Ci sono ora solo passaggi algebrici verificabili senza troppe difficoltà.
Infatti, dopo avere scritto tutte quelle equazioni, proporzioni, eguaglianze, Newton le combina insieme per arrivare ad un risultato finale sintetico e significativo.

Mi risulta piuttosto tedioso usare immagini jpg per allegare i passaggi algebrici, descritti a parole da Newton, tradotti in chiave moderna, quindi allego un pdf, più versatile da trattare.

Newton adotta un metodo di calcolo che si basa su una scarica di moltiplicazioni, metodo che, francamente, non mi è molto familiare. Ho preferito combinare le equazioni a modo mio: se la matematica non è un'opinione, il risultato deve essere il medesimo.
Non so quanti lettori abbiano verificato davvero i calcoli, da allora. Senz'altro alcuni l'avranno fatto, ma dubito che il traduttore, ineccepibile per molti versi, sia tra di loro, mi spiace dirlo. E' bello notare che anche qui Newton non fallisce neppure di una virgola (ci mancherebbe che fosse scivolato su una improbabile buccia di banana ...).
Le conclusioni di Newton sono queste, coincidenti con i miei risultati:

E qui finisce la parte geometrica della dimostrazione.

Abbiamo toccato con mano una geometria sapiente e raffinata, una conoscenza profonda e vasta che confluisce in una procedura mirata e complessa. Scoprire che c'è ancora la possibilità di interpretare, capire, verificare direttamente uno scritto storico di tale portata non è cosa da poco.

Ma ... accidenti! ... presi da tutte queste elucubrazioni geometriche, non abbiamo ancora parlato di meccanica!
Dov'è la dinamica, dov'è la cinematica?
Ecco spuntare, proprio in coda, il richiamo necessario a completare la dimostrazione.

Si tratta dell'aggancio ai corollari 1 e 5 della proposizione VI.
E che cosa mai ci diranno quei corollari? Come potranno chiudere la questione?
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Ecco scovato l'aggancio Proposizione VI - [Teorema V] - Corollari 1 e 5
(omessi nella figura i Corollari 2,3,4):

Sorpresa, sì! Siamo di fronte ad una doppia pagina con altri link.
Del resto non potevamo pensare di cavarcela così in fretta.
I Principia di Newton sono come una matrioska:

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Reggetevi forte!
Forse andiamo verso il finale.
Stiamo facendo un po' di fatica, ma pensate alla fatica che avrà fatto Newton per trovare le prove sicure di ciò che voleva dimostrare.
Fosse soltanto per il rispetto della sua memoria, dobbiamo cercare di completare il suo ragionamento.

Siamo arrivati agli elementi basilari che reggono tutto l'impianto logico.
Newton s'era organizzato. Chissà quante volte ha dovuto ripetere i concetti a chi, incredulo, glieli contestava.
Ad una prima analisi, ma vedremo meglio dopo, sembra proprio che il Maestro si fosse dato un metodo per affrontare questo genere di problemi. Sapeva il fatto suo e si intuisce molto bene che sapesse essere assai convincente.

Fortunatamente abbiamo già anticipato delle parti, per cui non sarà cosa difficilissima rimettere insieme tutto il puzzle.

Comincio col presentare una pagina richiamata precedentemente (il lemma XI), vincolata al percorso logico che stiamo seguendo; su di essa poggia gran parte della cinematica di Newton.
Ci sono dentro delle cose interessanti. Il suo modo di capire e di risolvere i problemi è diverso da quello a cui siamo abituati. Il tempo sembra essere legato indissolubilmente alla geometria, quasi raffigurato attraverso entità geometriche.

Non impressionatevi troppo. Sembra un po' strana, ma la risolveremo.
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eppure è la cosa più preziosa che abbiamo" (A. Einstein).

Vediamo in dettaglio la pagina precedente (il Lemma XI).
La leggiamo: ci aiuterà a capire il resto.

Ricordo che l'abbiamo già vista, un po' di sfuggita, col pretesto della definizione di curvatura:
http://forum.astrofili.org/viewtopic.php?f=4&t=104953&p=1184145&hilit=disinvoltura#p1184145

L'enunciato del Lemma XI pare un po' oscuro, a prima vista, ma le definizioni diventano immediatamente chiare se leggiamo le prime righe della dimostrazione successiva.
Mettiamo a fuoco l'enunciato e il disegno:

I termini "sottendente evanescente" e "da ultimo" dicono chiaramente che si tratta di un ragionamento al limite, cioè si ammette che i punti b e B sulla curva tendano al punto A, cioè si muovano verso A fino ad avvicinarsi indefinitamente.

Per la dimostrazione Newton costruisce due perpendicolari, AG e BG, e un cerchio non espressamente disegnato (la costruzione è ripetuta per i punti analoghi con le lettere minuscole).

Consideriamo soltanto il triangolo ABG, per non fare confusione.
Egli sa bene che un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo, per cui applica il I° Teorema di Euclide (cateto AB): AB^2 = AC*AG

E' una specie di miracolo!
Il cerchio passante per ABG tende a stabilizzarsi su un cerchio ben preciso quando B tende ad A, Newton lo afferma nelle righe successive in modo completamente moderno, attuale ed ineccepibile!

Ne consegue che (quando B tende ad A) AG, il diametro del cerchio in questione, tende diventare una costante nella equazione AB^2 = AC*AG (anche qui, come abbiamo già visto altrove, a meno di infinitesimi di ordine superiore, come direbbero i matematici moderni). Quindi il Lemma è dimostrato (è superfluo osservare che ADBC è un rettangolo).
Conti un po' più raffinati di quelli della spesa.

Nota:
Quel cerchio ultimo definito nel caso limite in cui B è infinitamente vicino ad A prenderà il nome moderno di cerchio osculatore. Newton non lo chiama così, ma il concetto gli è molto limpido e chiaro nella mente e sa che non ne può fare a meno.
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Appreso il Lemma XI, veniamo ai Corollari 2 e 3 che ci interessano:

C'è un termine nuovo: saette.
Niente paura:

La chiamiamo più frequentemente freccia, oggigiorno.

Il Corollario 2 ci dice che le frecce sono proporzionali ai quadrati degli archi.
Attenzione: archi piccoli. Funziona davvero. Provare per credere.

E' estremamente interessante osservare come in astronomia il concetto di arco piccolo (rispetto alla freccia) sia effettivamente riscontrabile nelle osservazioni delle traiettorie dei corpi, in particolare dei corpi del sistema solare.

Forse proprio le misure astronomiche hanno contribuito allo sviluppo di metodi matematici basati sui ragionamenti al limite, sulle approssimazioni delle curve mediante rette, sulle semplificazioni dei calcoli.
La traiettoria di un asteroide in cielo, seguita per diversi giorni, spesso appare con una curvatura minima, appena accennata.
Ciò sblocca la mente, apre nuove possibilità, aiuta a distinguere.

Poi finalmente (!!!) ecco la Cinematica nel Corollario 3.

Compare la grandezza Tempo. Abbiamo sempre parlato di geometria pura, finora.
Ora Newton estrae il coniglio dal cilindro: il Tempo!
Non siamo abituati noi moderni a tenerlo così nascosto. Eccolo qua!
Ma, delusione, è fugace l'apparizione del Tempo, perché immediatamente Newton lo associa all'arco mediante la proporzionalità diretta (velocità costante, archi piccoli).

Non può sfuggirci la grandissima abilità di Newton nel distinguere le grandezze importanti da quelle secondarie, nel discernere gli infinitesimi essenziali che contano e che vanno considerati da quelli di ordine superiore che si estinguono rapidamente nei passaggi al limite e che possono essere trascurati.

Anzi, diciamolo chiaramente, il trucco sta tutto lì: separare ciò che è essenziale da ciò che è superfluo.
Linearizzare le curve quando è possibile, ma non farlo (!) quando non è lecito.
Capire che cosa si deve fare in certe circostanze non è proprio un gioco da ragazzi.
Newton sa prevedere dove andrà a parare, tra lo stupore delle persone comuni.
Ho la sensazione che in questo avesse una marcia in più rispetto suoi contemporanei.

Quando la filosofia della sua procedura è diventata di pubblico dominio, ne hanno beneficiato tutti, matematici, fisici, meccanici, elettronici, informatici ...

Quindi, corollario 3, semplice, limpido, logico:
la saetta è proporzionale al quadrato del tempo (velocità costante, archi piccoli).

OK, ci può stare.

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Ultima fermata.
La chiusura del cerchio.
Riprendiamo l'ultima pagina che ci resta da studiare (la stessa allegata qualche post fa):

Riassumiamo i richiami (che poi sono solo 2).
Corollario 4 della Proposizione I (celebre pagina, già analizzata):
***>le saette sono proporzionali alle forze centripete
http://forum.astrofili.org/viewtopic.php?f=4&t=105109&hilit=gravit%C3%A0+impulsiva#p1184224

Corollari 2 e 3 del Lemma XI (visto nel post precedente):
***>le saette sono proporzionali anche al quadrato del tempo.

Corollario 4 del Lemma X lo saltiamo perché è solo una strada alternativa:

Possiamo ora capire la Proposizione VI -Teorema V:

***>La forza centripeta è direttamente proporzionale alla saetta ed inversamente proporzionale al quadrato del tempo.
Per tempo si intende quello impiegato dal corpo a percorrere un arco piccolo, del quale si considera la saetta (freccia), su di una qualsiasi traiettoria.

Ci spiega bene Newton:
ora sostituisce il tempo con l'area del triangolo spazzato dal raggio vettore SP*QT/2, la solita seconda legge di Keplero
e inoltre QR è uguale alla saetta, alla freccia dell'arco doppio, giusto!!!!

E costruisce il suo solido (SP^2*QT^2)/QR (è un solido !!!!!!!!!!!!!!! inversamente proporzionale alla forza centripeta) che gli permette di risolvere tutti i problemi.

in particolare anche quello del primo post.

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