1° Forum di Astronomia Amatoriale Italiano

(Appunti sparsi su una lettura di piacere).

Ecco la grande, spettacolare dimestichezza con cui Newton tratta le coniche.
In una cruciale pagina storica dei Principia, corredata naturalmente dall'autorevole disegno
(capirete forse più avanti perché ho tanto interesse)

compare una frase, tra le righe, molto significativa, a mio modo di vedere:

Con formidabile disinvoltura, senza citare alcun riferimento, né esterno, né a qualche suo precedente corollario o teorema, Newton liquida in meno di una riga una proprietà che dà del tutto scontata.
EP = AC = semiasse maggiore dell'ellisse.
Non è affatto scontato, per me. Non ci credo proprio (trita-scatole come sono)!
Autocad:

Cavolo! L'uguaglianza è perfetta fino all'ultima cifra decimale.
Ma perché c'è questa uguaglianza?
Newton la conosceva molto bene e sapeva sicuramente anche il motivo dell'uguaglianza, senza autocad.
Io no. Mi vergogno un po'.
Ci deve essere un perché, ci deve essere una dimostrazione (che non ho trovato in rete!).
Sfortunatamente (o fortunatamente) le serate sono nuvolose. E il tarlo rode.

Per spiegare ciò che Newton dava per scontato mi sono arrovellato il cervello tre sere.
Ho dovuto, in definitiva, scomodare le proprietà ottiche dell'ellisse:
se un raggio parte da un fuoco, si riflette sulla parete dell'ellisse e va a finire nell'altro fuoco.
E poi le conseguenze.

Non entro nei dettagli della dimostrazione, la lascio sulla figura.
Se siete curiosi potete seguirla facilmente e nulla vieta che ne abbiate voi una migliore. Anzi!

Morale della storia?
Eccola:
Sotto una riga di Newton c'è una carriola di ragionamento.
Newton si muoveva su un tappeto fertile di conoscenze raffinate. Il seme della gravitazione germoglia da un terreno ricco di sapere approfondito, preparato da Apollonio (III secolo A.C.), Pappo (III secolo D.C.), e coltivato da G. Desargues (1593-1662), B. Pascal (1623-1662), Keplero (1571-1630), Galileo (1564-1642) e tanti altri contemporanei.

http://www.mathesisnazionale.it/mathesisbkp/archivio-storico-articoli-mathesis/68_83.pdf

Newton punta rapidamente, con sintesi esemplare e precisione infallibile, all'obiettivo finale.
I suoi innumerevoli teoremi costituiscono una pietra miliare e sono teoremi a tutti gli effetti, in ogni dettaglio, e non vengono messi in discussione più (!).
State pur sicuri che una loro rilettura ci farebbe ancora bene.
Le ipotesi lui non le inventa. Le lascia stabilire a noi.
O meglio. Lascia che siano stabilite dai risultati degli esperimenti, che, in definitiva, dominano su tutto.

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Costanzo
"Una cosa ho imparato nella mia lunga vita: che tutta la nostra scienza è primitiva e infantile
eppure è la cosa più preziosa che abbiamo" (A. Einstein).

Dottissima pagina, ippogrifo!

Beppe

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WO Zenithstar 80FD 10th Anniversary (il mio gioiellino)
SW ED 120 Pro Series (oro)
SW 200 f4 (modificato "sonotube like")
Celestron Comet Catcher originale 1985
Celestron Comet Catcher 1986 (profondamente modificato per astrofotografia DSO)
Celestron Cometron Comet Catcher Junior (Bird Jones completamente ottimizzato per l'osservazione planetaria)
Newton 20 f5.6 autocostruito con specchio corretto a meno di lambda/16 (il mio migliore strumento per il planetario)

Grazie mille. Molto gentile.
Ma …
… temo di dover dichiarare un solennissimo mea culpa.

Se sostituisco le parole "per cui" con "infatti",
mi rendo conto ora che, di seguito, c'è qualcosa che assomiglia molto alla mia dimostrazione.
Il meccanismo è simile, ma si lavora su altri triangoli.
E allora la dimostrazione di Newton potrebbe venire dopo il "per cui", forse male tradotto.
Purtroppo capisco solo ora l'equivoco e lo comprendo perché ci ho ragionato con la mia testa.
Il "per cui" mi ha tradito, mi invitava a passare ad altre considerazioni conseguenti.
Abbaglio mio.
Meglio. Sono più tranquillo.
La dimostrazione c'è allora ... e viene di seguito.
Sì, dovrebbe funzionare … penso proprio di sì … anche ad una rilettura più attenta.
Ecco che cosa succede quando le parole passano da un tramite all'altro facendo un lungo tragitto.
Mannaggia alla traduzione. Ma nulla è irreparabile.
Ciò toglie un pochino di disinvoltura a Newton … che risulta un po' più umano. Fiuuu!!!
Meglio così. Meno male. Ma restano invariate le considerazioni sul contesto storico e sull'altissima qualità del lavoro del grande Maestro.

Notte.

Postilla:


"Eo quod" viene tradotto "per cui" dal curatore della traduzione Alberto Pala.
E' probabile che l'intenzione fosse di attribuire a "per cui" il significato "per dimostrare la qual cosa", "a tale fine", "a tale scopo".
Penso che non ci siano più dubbi: la dimostrazione di Newton EP=AC è quella che segue il "per cui".

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Costanzo
"Una cosa ho imparato nella mia lunga vita: che tutta la nostra scienza è primitiva e infantile
eppure è la cosa più preziosa che abbiamo" (A. Einstein).

Costanzo, guarda la pagina dei messaggi privati...ciao.

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Paolo
Lunt 60-Ha--Lunt 60-CaII K - e....molto altro che, aimè, mi consente di fare solo astronomia quantitativa ! (Cit.)

Grazie.
***
Nella stessa pagina, quella esposta precedentemente,
c'è un'altra riga che necessita di riflessione e meditazione.


Sotto la definizione parametro principale L dell'ellisse, " ossia 2*(BC^2)/AC ", sta una proprietà nascosta.
E' questa: le aree dei due rettangoli della figura sottostante sono uguali,
ma non all'incirca uguali. No. Sono perfettamente uguali (Autocad dà le aree).





PS.
Aggiungo una possibile dimostrazione, non difficile da trovare per la verità,
ma … il problema vero era ricordarsi (o meglio conoscere) questa proprietà
e stavolta Newton la dà veramente come scontata (!).

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Costanzo
"Una cosa ho imparato nella mia lunga vita: che tutta la nostra scienza è primitiva e infantile
eppure è la cosa più preziosa che abbiamo" (A. Einstein).

Non temete, è ancora la stessa pagina, quella della Legge del Quadrato,
che tanta storia ha portato con sé e tanta ne porta ancora,
nel doveroso rispetto per le successive teorie di Einstein che l'hanno inglobata.
Pagina densa, piena di proprietà riguardanti le ellissi, un'autentica miniera d'oro di geometria.
Mi soffermo su questa, data proprio del tutto scontata da Newton e descritta in pochissime parole:

Questa proprietà compare anche nel compendio del '700 sulle coniche già citato
e penso che ai nostri giorni non sia più di moda, soprattutto per nostra negligenza.
Ci è ben nota invece una sua applicazione particolare alla semicirconferenza.
Il triangolo rettangolo inscritto in una semicirconferenza e il secondo teorema di Euclide la giustificano.

Per l'ellisse le cose sono un po' più complicate, ma Newton e contemporanei sapevano tutto.
E bene!
L'ho verificata con Autocad, con una certa incredulità iniziale, ma è inutile dire che tutto è combaciato perfettamente.
Ciò che continua ad affascinarmi è la padronanza assoluta di questo mare di conoscenze:

Per il momento mi limito a studiare le singole tessere del puzzle,
ma è naturale che il tentativo finale sarà quello di mettere insieme
tutti i ragionamenti … possibilmente.

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Costanzo
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eppure è la cosa più preziosa che abbiamo" (A. Einstein).

Mi perdonerete se aggiungo una nuova tesserina al puzzle.
Il Maestro sviluppa in modo raffinato i passaggi al limite, probabilmente come mai nessuno aveva fatto prima.
Ci hanno insegnato che i passaggi al limite (i limiti) costituiscono una premessa cruciale al calcolo differenziale ed integrale.
Newton non tralascia proprio nessun particolare in questa direzione, quasi in modo ossessivo.
La Gravitazione lo esige, dobbiamo spingere il pensiero fino in fondo, fino all'ultima frontiera.
Perché ha considerato due punti P e Q sull'ellisse?
Certamente cominciamo a capirlo: farà tendere Q a P, portando le considerazioni al limite.
A questo siamo abituati anche noi, fortunatamente …
E difatti il richiamo al Lemma VII ci conduce a qualcosa di familiare.
Questa non l'abbiamo persa: Tangente, Arco e Corda tendono all'uguaglianza quando P e Q si avvicinano. Siamo a casa. Ci ritroviamo. Siamo arrivati alla sorgente.
Il Corollario 2 è un po' più raffinato ed elegante di come l'avremmo esposto noi, ma qui il Maestro ha parlato in una lingua nota.
Citazione del Corollario 2 del Lemma VII:

Tornando indietro di qualche pagina, infatti, troviamo il punto interessato a cui si fa riferimento:

Nei ragionamenti di Newton sulla gravità troviamo spesso questi due punti P e Q sulla traiettoria che vengono fatti avvicinare sempre più, con le successive conseguenze.

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Costanzo
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eppure è la cosa più preziosa che abbiamo" (A. Einstein).

Continuando la lettura …

Il problema riguardante la natura della forza centripeta quando questa è costantemente diretta verso il fuoco di una conica ha bisogno di molti riferimenti esterni a corollari e teoremi già noti.

Newton voleva essere definitivo, inconfutabile: l'intenzione di chiudere il discorso una volta per tutte è molto evidente.
E probabilmente ci riuscì, nel rispetto delle conoscenze di quei tempi.

La Sua Meccanica è ancora la Nostra Meccanica ordinaria, quella che usiamo tutti i giorni, quella che mangiamo tutti i giorni.

Incappò ovviamente nel problema di trovare il raggio di curvatura di una traiettoria in un punto dato.
La circonferenza che meglio approssima una curva in un punto avrebbe semplificato enormemente il problema fino a renderlo comprensibile anche per uno scolaretto delle medie.
Ecco un'altra pagina di mirabile didattica; i commenti rischiano di rovinarne la lucida sintesi.
Le parole sono quelle necessarie e sufficienti.
Fisso la pagina su questo forum anche per mia personale memoria.


(Chiaro l'uso magistrale di passaggi al limite, teoremi di Euclide, ecc.)

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Costanzo
"Una cosa ho imparato nella mia lunga vita: che tutta la nostra scienza è primitiva e infantile
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