1° Forum di Astronomia Amatoriale Italiano

Ciao a tutti,
ho una curiosità (puramente matematica, intendiamoci) riguardo alle condizioni necessarie affinché un pianeta (ad esempio la Terra) possa catturare un corpo del sistema solare (ad esempio una cometa o un asteroide) che le passa accanto e tenerlo in orbita oppure causare una collisione, ad esempio come successe con Giove e la cometa SL9 nei primi anni '90.

Premesso che si tratta di un'evenienza molto remota, dato che la maggior parte di questi corpi segue un'orbita iperbolica o parabolica con velocità tali da rendere impossibile la cattura, e al più causando una deviazione. Comunque ecco una formulazione semplificata del problema per capire se secondo voi abbia senso oppure no.

Supponiamo che una cometa di massa m segua una traiettoria di "sfioramento" della Terra (che ha massa M), quindi non di collisione, con una velocità di ingresso "v0" e a una distanza R dal centro del nostro pianeta. Per semplicità, inoltre, supponiamo che il passaggio avvenga nella sfera di ingflunza gravitazionale, in modo tale da rendere trascurabile l'influenza degli altri corpi del sistema solare (la nostra stella in primis), e supponiamo l'assenza di forze esterne (es. attrito dovuto all'atmosfera). In queste condizioni, l'energia meccanica totale E della nostra cometa è fatta di due contributi, quella cinetica K e quella potenziale U:

E = K + U = (1/2)*m*v0^2 - (G*M*m)/R

Secondo me, nel momento in cui il corpo (cometa, asteroide, ecc.) passa nel punto di massimo avvicinamento al pianeta, possono succedere due cose. Se l'energia cinetica del corpo è maggiore di quella potenziale, allora esso sfuggirà, al massimo subendo una deviazione. Se invece è minore, allora esso verrà catturato e il tipo di orbita (stabile oppure di collisione verso il corpo più grande) dipende dalla differenza fra i due tipi di energia. Considerando il segno || come operatore modulo, abbiamo:

• se K > |U|, il corpo transita e "scappa". Il corpo in realtà sfuggirebbe anche nel caso limite K = |U|
• se K < |U|, il corpo viene catturato.

Quindi affinché un corpo sfugga all'attrazione del pianeta principale deve essere che

K >= |U|

Sostituendo e semplificando:

(1/2)*m*v0^2 >= (G*M*m)/R

v0 >= sqrt(2*G*M/R)

Per prima cosa notiamo che questa relazione è indipendente dalla massa del corpo più piccolo. La seconda è che la quantità nel secondo membro della disuguaglianza è proprio la velocità di fuga, vedasi ad esempio https://it.wikipedia.org/wiki/Velocit%C3%A0_di_fuga.

Dunque la conclusione è: date le semplificazioni in ipotesi, se v0 è maggiore o uguale della velocità di fuga corrisponente alla posizione di massimo avvicinamento, la cometa sfuggirà all'attrazione del pianeta, viceversa sarà catturata.

Secondo voi ha senso come ragionamento?

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Emmanuele Sordini
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Mi sembra che il ragionamento fili, anche se sembra anche troppo semplice per essere vero
In fondo, se un oggetto si trova in un certo punto - indipendentemente da come ci e' arrivato - il suo permanere nell'orbita dovrebbe dipendere solo dalla sua energia cinetica secondo la relazione che suggerisci...

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In effetti il mio ragionamento si basa su alcune semplificazioni non da poco. Ma la mia idea era confrontare la sua sensatezza date appunto le semplificazioni (altrimenti si avrebbe un problema dei 3 o N corpi la cui trattazione è estremamente complessa).

Del resto lo si può vedere anche qui:

http://www.phy.duke.edu/~lee/P53/sat.pdf

dove dice che la velocità V dell'oggetto può essere scomposta in due componenti, Vr sel senso radiale e Vt nel senso tangenziale della traiettoria. Al massimo avvicinamento, la distanza dal corpo più piccolo al più grande ha un minimo e quindi seppure per un istante la distanza R non varia, quindi dR/dt = 0, cioè Vr = 0. Allora la velocità è solo tangenziale, e quindi simboli a parte direi si ricada nel caso del mio post originale.

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Emmanuele Sordini
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Il discorso in termini energetici è semplice. Se il corpo celeste arriva dall'esterno verso la Terra (ad esempio), per forza di cose avrà una velocità superiore alla velocità di fuga, quindi se impatta... lo sappiamo cosa avviene, se invece non impatta si allontanerà esattamente al contrario di come è arrivato (dal punto di vista energetico). Per venire catturato deve perdere energia in qualche modo. Potrebbe essere energia che perde per attrito con l'atmosfera oppure una parte di energia si potrebbe perdere per frammentazione (qualche pezzo schizza via velocissimo (porta via molta energia) e qualche altro no, e quest'ultimo si inserisce in orbita. Oppure può perdere energia per effetti mareali, ma questa energia nel caso della Terra è poca (non è un buco nero). Tipico è il caso delle comete che perdono massa evaporando e quindi cambiano orbita, ma questo vale più per un'orbita attorno al Sole che non alla Terra.

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“Ciò che non ha termine non ha figura alcuna” Leonardo da Vinci

Due considerazioni:

1) Chi l'ha detto che per forza debba avere velocità superiore alla velocità di fuga? A me non sembra così ovvio.

2) E poi, di quale velocità di fuga di parla? Di quella del campo gravitazionale del Sole o della Terra?


Qui sono totalmente d'accordo.

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Emmanuele Sordini
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Quello che dice Fabio fa scopa con quello che ho sempre sentito sull'argomento, pur non avendone chiare le ragioni.
Considera che la velocita' di fuga non e' una proprieta' intrinseca di un corpo celeste, ma cambia in base alla distanza da quest'ultimo. E' legata all'energia cinetica iniziale necessaria a portarsi all'infinito (cioe' fuori dal campo gravitazionale). Bisognerebbe capire tu che distanza R hai in mente, anche perche' l'energia cinetica dell'asteroide cresce man mano che si avvicina complicando il calcolo.

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Si è vero, ha una velocità superiore a quella di fuga se collide con la Terra. Ma dal punto di vista energetico il problema è quello di perdere in qualche modo dell'energia, altrimenti non si potrà mai inserire in un'orbita attorno alla Terra o ad un qualsiasi altro corpo celeste. Anche la materia che cade dentro ai buchi neri ci cade perchè perde energia per motivi mareali e di collisione (quindi calore) con l'altra materia chè c'è attorno. Altrimenti ci orbiterebbe attorno per sempre. E' lo stesso motivo per cui un'orbita si mantiene stabile, perchè nello spazio non c'è materia e quindi non c'è attrito. Quindi se non c'è attito l'energia cinetica non si può trasformare in calore e l'orbita resta stabile. A meno che non ci siano forze mareali, o detto in un altro modo, che il campo gravitazionale non sia tanto omogeneo da creare una "frizione" che dissipi l'energia. Non per nulla le sonde che si inseriscono in orbita attorno ai pianeti, ad es. a Marte, debbono attivamente rallentare usando i motori a reazione per potersi inserire in orbita, altrimenti al massimo subirebbero una deviazione e se ne andrebbero via. Se ci fosse un metodo per mettere in orbita attorno a Marte (per dirne uno) senza rallentare la sonda sarebbe un bel risparmio di peso. Che sia una cattura di un asteroide o la messa in orbita di una sonda spaziale attorno ad un pianeta il problema è sempre lo stesso.

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Certamente, la velocità di fuga dipende dalla distanza dal corpo principale.

Per circoscrivere meglio il problema, ma rimanendo sempre sui simboli senza dare numeri precisi (del resto, ciò che conta è il concetto), per "R" io intendo una distanza di R0 sufficiente a considerare il campo gravitazionale del corpo principale, diciamo la Terra, prevalente rispetto a tutti gli altri. La velocità di fuga in un punto situato a distanza R0 dal centro di un corpo di massa M è dato da

Vf = sqrt(2GM/R0)

ove ovviamente sqrt() è la radice quadrata.

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Emmanuele Sordini
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Semmai io direi il contrario...

Il tuo discorso è condivisibile, per rallentare e quindi per agganciarsi a un orbita il corpo deve perdere energia cinetica, cioè velocità.

Però quello che io non capisco è: chi mi autorizza ad affermare a priori che qualunque corpo inerte (quindi escludiamo sonde, astronavi, comete, ecc) si avvicini alla Terra debba per forza avere una velocità sicuramente superiore a quella di fuga ? Secondo me nessuno.

Cioè, con un esempio stupido: la velocità di fuga nella zona dei satelliti geostazionari è di circa 4.3 km/s, che è certamente bassa rispetto alla scala di velocità che si riscontrano del sistema solare. Però la mia domanda è: perché non può esistere un asteroide che passi a quella distanza a 4 km/s?

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Emmanuele Sordini
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la risposta è forse nelle ultime due schede di questa lezione, pare che l'influenza della Luna sia determinante. Però non sono un esperto di astrodinamica, bisognerebbe lavorarci un po' su con qualcuno del mestiere.

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Raf