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Io queste cose le ho capite un po' alla volta, e quindi in effetti non le ho mai "studiate", anche se naturalmente conosco i fondamenti della geometria analitica e dell'algebra dei vettori. Per esempio, se guardo su un libro le figure che descrivono queste rotazioni, in genere non capisco una mazza. Per capire devo ricostruirmi io il problema, con una penna che fa da "asse", una cartolina perpendicolare alla penna che fa da "equatore della penna" e la scrivania che fa da "piano di riferimento".
Il trucco di ruotare attorno ad un solo asse per volta serve appunto a capire quello che si sta facendo, rendendolo più facile e non più difficile. Ruotare attorno ad un solo asse alla volta è un modo per "bidimensionalizzare" un problema tridimensionale, rendendolo più facilmente abbordabile con carta e matita.
In 2D poi c'è un trucchetto banale, che una volta imparato ti aiuta molto:
Mettiamo che si tratti di ruotare da (X0,Y0) a (X,Y) di un angolo phi nel piano XY. Le formule sono sempre così:
X = X0*cos(phi) + Y0*sin(phi)
Y = Y0*cos(phi) - X0*sin(phi)
Con il fattore che moltiplica il coseno che è sempre la vecchia coordinata corrispondente a quella che si sta calcolando e quello che moltiplica il seno che è sempre l' "altra" vecchia coordinata.
L'unico dubbio è se phi debba avere segno positivo o negativo (che equivale a prenderlo sempre positivo ma non sapere se scambiare oppure no il (+) e il (-) nelle due formule. Naturalmente se si fa il disegno ci si arriva.
La trasformazione inversa cambia solo di segno a phi, ovvero scambia il (+) con il (-).
Per esempio, se vuoi passare dall'eclittica all'equatore e non ti ricordi se phi=23.5° lo devi prendere positivo o negativo, che fai ?
Semplice: ti ricordi che all'equinozio di primavera il Sole è sull'asse X (dal lato positivo), e al Solstizio d'estate sull'asse Y (dal lato positivo).
Avrai Z = Z0*cos(phi) + Y0*sin(phi)
Sai che Y0 deve essere positivo, che Z0 è zero, e che Z deve essere positivo, perché al solstizio d'estate il sole è "sopra" l'equatore (ovvero verso Nord).
Perciò phi deve essere preso col segno positivo.
Nella trasformazione inversa (che è quella fatta all'inizio nel nostro caso) deve succedere il contrario e quindi o phi si prende negativo o, equivalentemente, si scambia il (+) con il (-) nelle formule.
Volendo passare direttamente da una terna all'altra di assi, si è già detto che si può direttamente usare una "matrice di rotazione" 3x3, in cui ogni riga (o ogni colonna, boh ?) è costituita dai coseni direttori (geometria analitica nello spazio, 2° anno di Università) di ciascuno dei nuovi assi rispetto ai vecchi. Ma mettigli il sale sulla coda, ai coseni direttori in 3D !
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