Mistenda ha scritto:
per i dati di Gaia DR2 farò riferiento al citato articolo, da ora in poi citato come G2:
https://academic.oup.com/mnras/article/ ... 07/5850386facendo presente che i DR2 sono un po' a seghetto, come si vede nella Figura 1. Ciò è dovuto agli intervalli piccoli (0,2 kiloparsec, in seguito kpc), che intuitivamente risentono di perturbazioni locali (bracci). Molto più coerenti gli intevalli di DR3 (1 kpc).
Per i dati di Gaia DR3 farò riferimento al citato studio, da ora in poi citato come G3:
https://arxiv.org/pdf/2309.00048Naturalmente anche uno che studia trend deve avere un punto di partenza. Nel nostro caso una stima della massa galattica (massa barionica, ovvero di "materia normale"). A questa stima corrisponde una velocità, chiamiamola estremamente newtoniana, di una particella satellite ad una distanza chiamata bordo (bordo convenzionale) pari a 19,5 kpc (come pare suggerire G3). L'ipotesi "estremamente newtoniana" risponde alla domanda: se tutta la massa (barionica) galattica fosse concentrata in un unico corpo, quale sarebbe la velocità di una particella satellite orbitante a 19,5 kpc?
Si intuisce che ho dato il raggio come informazione relativamente più nota, e attraverso varie iterazioni nell'applicazione della nota formula di Newton sono giunto ad una risposta "plausibile" di una velocità pari a 103,0834 km/s per la particella satellite posta a 19,5 kpc da una massa M (massa galattica barionica ridotta) pari a 0,481876x10^11 masse solari. Perché ridotta? Perché per stare in un unico corpo ha risentito del contributo negativo dell'energia di legame gravitazionale:
https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitati ... ing_energyIl corrispondente in massa dell'energia di legame negativa, attraverso la sostituzione nella formula di R con il raggio di Schwarzschild:
https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_radiuse semplificando, è 3/10 M.
Ciò vuol dire che la galassia spacchettata "pesa" 1,3 volte la galassia impacchettata nell'ipotesi estremamente newtoniana. In numeri MG(19,5) = 1,3 M = 0,626439x10^11 masse solari.
Guardando la Tab. 4 di pag. 7 di G3 si vede che la stima è molto vicina alla loro, per quanto riguarda la massa barionica.
La domanda è: se spacchettare e rinunciare alla ipotesi estremamente newtoniana cambia il termine massa, è lecito aspettarsi che la correzione della velocità della particella satellite sia semplicemente newtoniana, cioè 103,0834 moltiplicato per la radice quadrata di 1,3? Sappiamo già che no, perché DR3 in G3 ha un po' più del doppio per 19,5 kpc, 206,25 km/s.
Allegato:
L’allegato img_1.JPG non è disponibile
Fatto pari il raggio di 19,5 kpc a 1, nell'Immagine 1 abbiamo per l'asse delle x "ò" (che sta al posto di r con pedice 0) per indicare la frazione di raggio, e nell'asse delle y la velocità in migliaia di km/s (cioè 0,2 corrisponde a 200 km/s). Le curve blu, verde e viola tutte e tre danno per ò=1 v=103,0834 moltiplicato per la radice di 1,3. La curva rossa è quella derivata dalla funzione empirica che introdurremo.
La curva blu rappresenta l'ipotesi più newtoniana, in cui sia la distribuzione della massa (la porzione di massa sottintesa da una porzione di raggio) sia l'influenza della massa sulla velocità hanno esponente 1/2 (sono radici quadrate della porzione di raggio - ricordiamo che per i numeri compresi fra 0 e 1 le radici accrescono il valore). Per cui avremmo ò^1/4 fratto ò^1/2.
Nella curva verde si abbandona l'ipotesi newtoniana per la distribuzione della massa ma la si mantiene per l'influenza della distribuzione stessa sulla velocità. Invece che esponente 1/2 si suppone che la distribuzione della massa abbia esponente 2/3 (in base alla risonanza per cui un ottavo del raggio conterrebbe un quarto della massa). Semplificando gli esponenti abbiamo ò^1/3 fratto ò^1/2.
Visto che la situazione non è migliorata, la curva viola abbandona l'ipotesi newtoniana circa l'inlfuenza pari a esponente 1/2 della distribuzione della massa sulla velocità. Si invertirebbe così la situazione rispetto ad un disco rigido in questo senso: mentre per un disco rigido di densità costante la velocità tangenziale è proporzionale al raggio e decresce con la radice quadrata della massa (a metà raggio la velocità è la metà ma la massa sottintesa un quarto), in un disco legato gravitazionalmente la velocità decresce con la radice quadrata del raggio ma è proporzionale alla massa sottintesa, essendo, non a caso, la distribuzione stessa della massa frutto della gravità e di nient'altro. Abbiamo perciò ò^2/3 fratto ò^1/2. Da notare che la curva ricorda quella componente in grigio che la Fig. 1 di G2 attribuisce ad "halo", cioè all'alone, cioè in sostanza alla materia oscura.
Nella curva in rosso abbiamo ricalcato la curva viola abbandonando la correzione della velocità di partenza per radice di 1,3, correzione invece sostituita con un polinomio, sempre funzione di solo ò (che, ricordiamo, è la frazione adimensionale del raggio).
Posto V(19,5) = 0,1030834 (in migliaia di km/s) = k, si hanno le velocità effettive v (in migliaia di km/s) secondo la seguente (in cui solo k ha valore dimensionale di velocità, spazio fratto tempo):
Allegato:
L’allegato img_1.JPG non è disponibile
Quanto ai riscontri con DR2, ricavati da G2 (Tab. 1):
ò=0,38 (7,4 kpc), v=231,75 (G2: 232)
ò=0,40 (7,8 kpc), v=232,03 (G2: 231)
ò=0,43 (8,4 kpc), v=232,20 (G2: 232)
ò=0,53 (10,4 kpc), v=231,08 (G2: 230)
ò=0,55 (10,8 kpc), v=230,60 (G2: 230)
ò=0,63 (12,25 kpc), v=227,91 (G2: 229)
Come visto i dati DR2 sono un po' a seghetto, per le altre distanze si hanno differenza di 2 o 3 km/s, in un caso 5.
Molto più florida la situazione dei riscontri con DR3, ricavati da G3 (Tab. 3 pag. 5), perché molto puntuali invece per ogni frazione:
ò=0,69 (13,5 kpc), v=225,24 (G3: 224,16)
ò=0,74 (14,5 kpc), v=222,68 (G3: 221,60)
ò=0,79 (15,5 kpc), v=219,86 (G3: 218,79)
ò=0,85 (16,5 kpc), v=216,20 (G3: 216,38)
ò=0,90 (17,5 kpc), v=212,98 (G3: 213,48)
ò=0,95 (18,5 kpc), v=209,66 (G3: 209,17)
ò=1,00 (19,5 kpc), v=206,25 (G3: 206,25) [per definizione, perché in questo modo si è tarato k]
ò=1,05 (20,5 kpc), v=202,79 (G3: 202,54)
ò=1,10 (21,5 kpc), v=199,31 (G3: 197,56)
ò=1,15 (22,5 kpc), v=195,84 (G3: 197,00)
ò=1,21 (23,5 kpc), v=190,64 (G3: 191,62) con il primo ò, quello al numeratore, =1,20
ò=1,26 (24,5 kpc), v=187,28 (G3: 187,12) con il primo ò, quello al numeratore, =1,25
ò=1,31 (25,5 kpc), v=181,13 (G3: 181,44) con il primo ò, quello al numeratore, =1,27
ò=1,36 (26,5 kpc), v=174,42 (G3: 175,68) con il primo ò, quello al numeratore, =1,28
Avendo dovuto ritoccare il primo ò (quello al numeratore, del modulo adimensionale distribuzione massa, per intenderci) nelle ultime 4 distanze, si desume che la massa compresa fra i 19,5 e i 26,5 kpc non possa superare il 17,9% della massa entro i 19,5 kpc, MG(19,5), così come da noi ricavata più su. Perciò MG(26,5)=1,179MG(19,5).
se siamo riusciti, nella prima stesura, a dare un'idea dei possibile motivo - la gravità, in quanto forza apparente, non è autoenergica, cioè non lavora su se stessa - del passaggio dalla curva blu a quella verde e infine a quella viola nell'allegato Immagine 1, che qui ripropongo
Allegato:
Commento file: Immagine 1
img_1.JPG [ 100.8 KiB | Osservato 31 volte ]
abbiamo però poi inserito un polinomio al posto della molto più intuitiva radice quadrata di 1,3, derivando la curva rossa di Immagine 1, che, in grafico, rappresenta così la funzione di Immagine 2, che qui riallego
Allegato:
Commento file: Immagine 2
img_2.JPG [ 19.98 KiB | Osservato 31 volte ]
dove ò è la porzione di raggio, fatto uguale a 1 il raggio di 19,5 kpc, e v la velocità in migliaia di km/s.
Attraverso la funzione, abbiamo ricavato dei risultati soddisfacenti se confrontati con quelli effettivamente misurati (Gaia).
Il polinomio è stato introdotto ad occhio, cioè per esperienza nel ricavare delle curve, senza comprenderne la ratio. A distanza di giorni cerchiamo di vederne il possibile senso.
La sua rappresentazione grafica, se isolato dal resto, è questa che allego in Immagine 3
Allegato:
Commento file: Immagine 3
img_3.JPG [ 86.65 KiB | Osservato 31 volte ]
da cui si intuisce che, fra 0 e 1, esso approssima di molto la retta 3 - ò, ma standone sempre sopra. Mentre poi se ne allontana molto sostanzialmente per ò >1, presentando un punto di flesso per ò =1 che è molto importante, e che ci aspettavamo da un punto di vista teorico.
Il polinomio non è certo facilmente integrabile per i ò compresi fra 0 e 1, ma stando, nell'intervallo fra 0 e 1 di ò, costantemente sopra la retta 3 - ò la quale funge da diagonale del terzo quadrato (a salire) di area 1x1, esso sottintende un'area certamente maggiore di 2,5.
Se supponiamo quest'area prossima a 2,6, la si può pure approssimare a quella di un rettangolo con base 1, e, conseguentemente, di altezza 2,6.
2,6, uguale a 2(1,3), appare così il moltiplicatore medio della velocità k che ci è restituito dal polinomio, e questa cosa ne è il vero senso.
Non è la radice quadrata di 1,3 il moltiplicatore medio di k (ovvero della velocità orbitale della particella satellite se tutta la massa galattica stesse in un'unico corpo), ma 2x1,3.
Ricordiamo che il momento di inerzia è una grandezza additiva, come la massa, cioè si somma punto per punto, indipendentemente dal tipo di legame fra i punti (cioè, nel caso di un disco, indipendentemente dal fatto che sia solido o semplicemente legato gravitazionalmente). Se teniamo presente il prodotto fra velocità angolare (w) e momento di inerzia (I) di un disco (1/2 x M x R^2) nel comporre il momento angolare (L) complessivo, per cui L = wI, e se teniamo presente che il moltiplicatore della velocità angolare è per definizione uguale a quello della velocità tangenziale (o orbitale), allora otteniamo che il moltiplicatore di k, m(k) = m(w), è 2(1,3) se e solo se il moltiplicatore del momento angolare m(L) è (1,3)^2. Infatti, posto R = ò = 1, e, come sappiamo fin dal principio, m(M) = 1,3, abbiamo m(w) = m(L)/m(I) = (1,3)^2 fratto 1/2(1,3) = 2(1,3) = 2,6.
Ciò significa che la galassia, "spacchettata" rispetto all'ipotesi estremamente newtoniana dell'unico corpo centrale, non ha un raggio casuale. Ciò che abbiamo chiamato bordo convenzionale è quel raggio che realizza la condizione per cui ad un moltiplicatore di massa pari ad 1,3 si accoppia un moltiplicatore di momento angolare pari ad (1,3)^2, il quale corrisponde ad un moltiplicatore di velocità (medio) di 2x(1,3).
Tutto ciò perché il momento di inerzia, o massa angolare, non cresce linearmente con la massa, ma è, per un disco, il semiprodotto della massa per il quadrato del raggio.
In sostanza, dovremmo concludere, l'approssimazione newtiniana è aberrante non rispetto alla massa, così come centrata nel centro di massa, ma rispetto alla massa angolare, che è esattamente quella cosa che differenzia la materia dall'essere considerata centrata sul centro di massa.
La grande quantità di massa sparsa in un grande alone attorno alla galassia, che si introduce con l'ipotesi della materia oscura, potrebbe non essere altro che la massa angolare della materia che già c'è, rotante dentro il disco, di cui non di tiene affatto conto quando consideriamo la massa centrata sul centro di massa.
Due considerazioni finali:
- non è, naturalmente, affatto escluso che esista una funzione f(ò) il cui integrale fra 0 e 1 approssimi meglio 2,6 ma che preservi allo stesso tempo l'esistenza di un punto di flesso per ò =1. Questo lo dirà il tempo.
- considerazioni gravitomagnetiche porterebbero all'introduzione di un quarto elemento additivo nel polinomio. Ma siccome questo elemento includerebbe necessariamente un prodotto per 1/c^2, esso non appare necessario a queste velocità basse rispetto a c, risultando al più in correzioni dell'ordine di milionesimi.
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